Обычно, если вы болеете больше недели, и есть повышенная температура, даже субфебрильная, доктор назначает антибиотики при кашле  https://receptika.ua/antibiotiki-ot-kashlya Я вам их назначить не могу, потому что это нужно видеть ваше состояние, прослушать вас, возможно направить на рентген. Так что, хотите вы или нет, но к врачу вам идти придется.
Вместе с антибиотикам неплохо бы еще принимать какие-нибудь муколитики, чтобы лучше отходила мокрота, антигистаминные, и пробиотики, чтобы не пришлось потом лечить дисбактериоз.